Τι (ποιος) είναι Уникурсальная кривая - ορισμός
![[[Декартов лист]]](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Descartes folium.png?width=200 "[[Декартов лист]]")
![[[Лемниската Бернулли]]](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Lemniscate1.png?width=200 "[[Лемниската Бернулли]]")
Уникурсальная кривая
(îò óíè... (См. Уни...) и лат. cursus - бег, путь)
(матем.), плоская кривая,, которая может быть задана параметрическими уравнениями x = φ (t), y = ψ (t), где φ (t) и ψ (t) - рациональные функции параметра t. Важнейшие теоремы об У. к.: если алгебраическая кривая имеет максимальное число двойных точек, допускаемое ее порядком, то она уникурсальна; обратная ей: всякая У. к. является алгебраической кривой с максимальным числом двойных точек, допускаемых ее порядком. В формулировке этих теорем предполагается, что точки высшей кратности пересчитаны по определенным правилам на двойные (например, одна тройная точка эквивалентна трем двойным).
Максимальное число двойных точек, которое может иметь алгебраическая кривая n-ого порядка, равно (n - 1)(n - 2)/2 = δ. Если кривая n-ого порядка имеет r двойных точек, то разность δ - r, т. е. число двойных точек, недостающее до максимального числа, называется дефектом, или родом, этой кривой. У. к. может быть также поэтому определена как алгебраическая кривая, род которой равен нулю. Очевидно, что прямая линия и кривая 2-го порядка не могут иметь двойных точек, следовательно, они всегда уникурсальны. Кривая 3-го порядка уникурсальна, если она имеет одну двойную точку, кривая 4-го порядка уникурсальна, если она имеет три двойные точки, и т. д.
На рис. изображена кривая 3-го порядка, называемая декартовым листом; она имеет одну двойную точку и, следовательно, уникурсальна. В самом деле, она может быть задана параметрическими уравнениями:
где параметр t равен тангенсу угла наклона радиус-вектора точки (x, y) к оси Ox.
При подсчете двойных точек нельзя основываться на внешнем виде кривой, т. к. двойные точки могут быть бесконечно удаленными или мнимыми. Например, кривая 4-го порядка - лемниската Бернулли, имеет одну лишь действительную двойную точку, но она имеет еще две двойные точки в мнимых круговых точках и, следовательно, уникурсальна.
У. к. играют важную роль в теории интегралов алгебраических функций. Всякий интеграл вида
где R(x, y) есть рациональная функция двух переменных, а y есть функция от x, определяемая уравнением F(x, y) = 0, задающим У. к., приводится к интегралу от рациональной функции и выражается в элементарных функциях.
К ст. Уникурсальная кривая
Кривая забывания
Кривая забывания или кривая Эббингауза была получена вследствие экспериментального изучения памяти немецким психологом Германом Эббингаузом в 1885 году.
Жордана кривая
ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА В МНОГОМЕРНОЕ
Плоская кривая; Кривые; Линия (кривая); Простая дуга; Простая линия; Кривая Жордана; Жорданова кривая; Трансцендентная кривая; Аналитическая кривая; Жордана кривая; Трансцендентные кривые; Путь (математика); Жорданова дуга; Замкнутая кривая; Простая кривая; Кривая линия
жорданова кривая, геометрическое место точек М (х, у) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнениям: х = φ(t), y = ψ (t) где φ и ψ - непрерывные функции аргумента t на некотором отрезке [a, b]. Иначе, Ж. к. есть непрерывный образ отрезка [а, b]. Это определение является одним из возможных математически строгих определений понятия непрерывной кривой. Однако Ж. к. может иметь весьма мало общего с тем представлением, которое обычно связывается с кривой; например, Ж. к. может проходить через все точки некоторого квадрата.
Если точки М (х, у) Ж. к., соответствующие различным значениям t, различны между собой, то такая Ж. к. называется простой дугой. Иными словами, простая дуга есть Ж. к. без кратных точек. Простая дуга является гомеоморфным (см. Гомеоморфизм) образом отрезка. Если же точки Ж. к., соответствующие t = а и t = b, совпадают, а все остальные точки между собой различны и отличны от М [φ(a), ψ(a)], то Ж. к. называется простым замкнутым контуром. Такая Ж. к. является гомеоморфным образом окружности.
Французский математик М. Э. К. Жордан, по имени которого названа Ж. к., доказал в 1882, что всякая замкнутая Ж. к. без кратных точек делит плоскость на две области, из которых одна является внутренней по отношению к этой кривой, а другая внешней. Это предложение носит название теоремы Жордана.
С. Б. Стечкин.
Βικιπαίδεια
Уникурсальная кривая
Уникурсальная кривая — кривая на плоскости, которая может быть задана параметрическим уравнением:
где и — рациональные функции параметра .
